気象予報士 数式導出裏話～統計力学編part2～

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ステファン・ボルツマンの法則

はじめに

 

foldingpap.hatenablog.com

 

前回Part1の記事では、統計力学の基礎の公式を使って、プランクの放射法則の公式を導出しました。それを用いると、ウィーンの変位則の公式と、ステファン・ボルツマンの法則の公式をすぐに導出できます。今回のブログは、それについてのお話です。

ウィーンの変位則

 

  \begin{align} \varepsilon_{\lambda} &= \dfrac{8\pi hc}{\lambda^5} \dfrac{1}{e^{{hc / \lambda kT}}-1} \end{align}
がプランクの放射法則でした。ここで、 T = T_1（定数）とした時の関数を考えて、 
  \begin{align} \dfrac{hc}{kT_1}\dfrac{1}{\lambda} = x \end{align}
とおきます。すると、 
  \begin{align} \varepsilon_{\lambda} = 8\pi hc (\dfrac{kT_1}{hc}x)^5 \dfrac{x^5}{e^x-1}  = \dfrac{8 \pi k^5 T_1^5}{h^4c^4} \dfrac{x^5}{e^x-1}\end{align}
となります。 f(x) = \dfrac{x^5}{e^x-1}とおくと、xがある値 x_1の時増減表よりf(x)は最大となります。よって、 f'(x) = \dfrac{5x^4(e^x-1)-x^5e^x}{(e^x-1)^2}より、 f'(x) = 0となるxを x_1とおいて、これを求めれば良いです。
5x_1^4(e^x_1-1)-x_1^5e^x_1 = 0の解は、 (5-x_1)e^x_1 =5と整理できるため、これを数値解法により求めて、 x_1 = 4.9651になります。
このとき、 \lambdaの値は最大波長となり \lambda_Mとなる為、（2）に代入すると、 \dfrac{hc}{kT_1}\dfrac{1}{\lambda_M} = 4.9651
以上より、 
 \begin{align} \lambda_M = \dfrac{hc}{4.9651kT_1} = \dfrac{2897}{T} \end{align}
となり、ウィーンの変位則が導けました。

 

ステファン・ボルツマンの法則

 

 \begin{align} \varepsilon_{\nu} =  \dfrac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\dfrac{1}{e^{h \nu / kT}-1} \end{align}
これがプランクの放射法則でした。
プランクの放射法則は、ある微小区間 \nu, \nu +d\nuの区間での放射のエネルギーを求めたものでした。ということは、黒体放射の全エネルギーを求める際は、この（５）式を全区間にわたって \nuで積分すれば良いです。早速計算してみましょう。
\dfrac{h}{kT}\nu = xとおくと、 \nu : 0 \rightarrow ∞のとき、 x : 0 \rightarrow ∞となります。
また、 \dfrac{h}{kT}d\nu = dxより、 d\nu = \dfrac{kT}{h} dxとなります。
よって、 \int_{0}^{∞} \dfrac{x^p}{e^x-1}dx = \Gamma(p +1)\zeta(p+1)、\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}、\Gamma(4) = 3!より、 
  \begin{align} E &= \int_{0}^{∞}\varepsilon_{\nu}d\nu \notag \\
&=  \dfrac{8 \pi h }{c^3}\int_{0}^{∞}\dfrac{\nu^3}{e^{h \nu / kT}-1}d\nu \notag \\
&=  \dfrac{8 \pi h }{c^3}\int_{0}^{∞}\dfrac{(\dfrac{kT}{h}x)^3}{e^{x}-1} \dfrac{kT}{h}d\nu \notag \\
&= \dfrac{8 \pi k^4}{c^3h^3} T^4 \int_{0}^{∞}\dfrac{x^3}{e^x-1} dx \notag \\
&= \dfrac{8 \pi^5 k^4}{15 c^3h^3} T^4 \end{align}
となります。
ここで、 \sigma = \dfrac{8 \pi^5 k^4}{15 c^3h^3}とおけば、 
   \begin{align} E = \sigma T^4 \end{align}
となるステファン・ボルツマンの法則が導けます。

 

おわりに

如何だったでしょうか？今回の話は、数Ⅲと大学レベルの微積を少し勉強していると容易に計算できる内容だったかと思います。気象学の教科書には、このような導出については95%掲載されていませんので、このブログで理解された方は少しお得感があるのではないでしょうか（？）今度、機会があれば私が専攻した流体力学や熱力学の詳しい話もできれば良いかなと思っています。よろしくお願いいたします。